AI를 아는 것에서, 풀 수 있는 것으로
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행렬을 곱해도 방향이 변하지 않는 특별한 벡터가 있습니다 — 그것이 고유벡터(eigenvector)이며, 늘어나거나 줄어드는 비율이 고유값(eigenvalue)입니다.
"eigen"은 독일어로 "고유한(own)"이라는 뜻입니다. 1904년 수학자 힐베르트가 처음 사용한 이 개념은, 오늘날 AI의 거의 모든 곳에 숨어 있습니다. PCA(차원 축소), PageRank(구글 검색), 양자역학의 상태 함수, 추천 시스템의 SVD까지 — 고유값 분해를 이해하면 이 모든 것의 공통 원리가 보입니다.
직관적으로 생각해봅시다. 2×2 행렬 A에 벡터 v를 곱하면 대부분의 벡터는 방향도 크기도 바뀝니다. 그런데 특별한 방향의 벡터는 방향은 그대로이고 크기만 λ배 됩니다. 수식으로 쓰면 Av = λv. 이것이 고유값 방정식입니다.
왜 이것이 중요할까요? 행렬이 나타내는 변환의 "본질적 축"을 찾아주기 때문입니다. 100차원 공간에서 복잡한 변환도 고유벡터 방향에서 보면 단순한 스케일링으로 분해됩니다. 마치 복잡한 진동을 주파수별로 분해하는 푸리에 변환처럼, 고유분해는 행렬 세계의 "주파수 분석"입니다.
핵심: Av = λv — 행렬의 본질을 꿰뚫는 마법의 방정식이며, 이 레슨의 모든 내용이 여기서 출발합니다.
참고 문헌: Strang (2019) — Linear Algebra and Its Applications